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山东省兖州二中-学年度第二学期高二数学文科期中考试试卷

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山东省兖州二中 2006-2007 学年度第二学期高二数学文科期中考试 试卷
1.已知集合 A ? {x | y ?

2 x ? x 2 }B ? { y | y ? 2 x , x ? 0},R 是实数集,则 (CR B)
( A ) D.以上都不对 B. [0,1) C. (??,0]

A?

A.[0,1] 2.复数 z ?

1 ? 2i 的虚部是 i
B.-1 C.i D.-i

( B ) A.1

2 2 2 3.设函数 f ( x) ? loga x(a ? 0, 且a ? 1),若f ( x1 x2 ?x2007 ) ? 8, 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( x2007 )

的值等于 ( C ) A.4 B.8 C.16 D. 2 loga 8

4.下列函数既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是 C A. f ( x) ? sin x C. f ( x ) ? ln B. f ( x ) ? ? | x ? 1 | D. y ? x
1 - 3

2? x 2 ?1

5.甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A、B 两变量的线性相关性作试验,并用回归分析方法分 别求得相关系数 r 与残差*方和 m 如下表;则哪位同学的试验结果体现 A、B 两变量更强的 线性相关性 A A.丁 B.丙 C.乙 D.甲 甲 r m 0.82 115 乙 0.78 106 丙 0.69 124 丁 0.85 103
x

2 6.在下列图象中,二次函数 y ? ax ? bx 与指函数 y ? ( ) 的图象只能是 A

b a

7.设 f(x)= 3 ? x ,则在下列区间中,使函数 f(x)有零点的区间是 D
X 2

A.[0,1)

B. [1,2]

C[一 2,一 1) D.[一 1,0]

? 1 x ?( ) ? 7( x ? 0) 8 . 设 函 数 f ( x) ? ? 2 , 若f (a) ? 1 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ? x ( x ? 0) ?
( C ) A. (-∞,-3) ∞) 9、下列大小关系正确的是( C A. 0.4 ? 3 ? log4 0.3 0.3 ? 0.43 ? 30.4 C. log4
3 0.4
2 2

B. (1,+∞) )

C. (-3,1)

D . ( -∞,- 3) ∪ (1,+

3 0.3 ? 30.4 B. 0.4 ? log4 0.3 ? 30.4 ? 0.43 D. log4

10.观察等式: sin 30? ? cos 60? ? sin 30? cos 60? ?

3 , 4 3 sin 2 20? ? cos 2 50? ? sin 20? cos 50? ? 4 3 2 2 和 sin 15? ? cos 45? ? sin15? cos 45? ? , 4
2

……,由此得出以下推广命题不正确的是 A A. sin ? ? cos ? ? sin ? cos ? ?
2 2 2

3 4 3 4 3 4

B. sin (? ? 30?) ? cos ? ? sin(? ? 30?) cos ? ?
2 2

C. sin (? ? 15?) ? cos (? ? 15?) ? sin(? ? 15?) cos(? ? 15?) ? D. sin ? ? cos (? ? 30?) ? sin ? cos(? ? 30?) ?
2 2

3 4

11.给出 30 个数:1,2,4,7,11,……其规律是 第一个数是 1, 第二数比第一个数大 1, 第三个数比第二个数大 2, 第四个数比第三个数大 3,…… 以此类推,要计算这 30 个数的和,现已给出了该问题 的程序框图如右图所示,那么框图中判断框①处和执行 框②处应分别填入 ( D ) A.i≤30?;p = p + i-1 B.i≤29?;p = p + i + 1 C.i≤31?;p = p + i D.i≤30?;p = p + i 12.设奇函数 f ( x)在[?1,1] 上是增函数,且 f (?1) ? ?1, 若函数f ( x) ? t ? 2at ? 1对所有
2

的 x ? [?1,1] 都成立,当 a ? [?1,1] 时,则 t 的取值范围是 ( C )

A. ? 2 ? t ? 2 C. t ? 2或t ? ?2或t ? 0 13.设 x 、 y 为实数,且

1 1 ?t ? 2 2 1 1 D. t ? 或t ? ? 或t ? 0 2 2
B. ?

x y 5 ? ? ,则 x + y =___ _______. 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 3i

13. 4 14.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下表: 性别 男 女 专业 非统计专业 13 7 统计专业 10 20

为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,得到

k?
2

50 ? (13 ? 20 ? 10 ? 7)2 ? 4.844 23 ? 27 ? 20 ? 30

因为 K ? 3.841,所以判定主修统计专业与性别有关系,那么这种判断出错的可能性为 ______ 14.5% 思路分析:因为 K ? 3.841 时,有 95%的把握认为主修统计专业与性别有关,所
2

以判断出错的可能性为 5%;

2 3 ? 53 ? 2 2 ? 5 ? 2 ? 5 2
15.考察下列一组不等式:

2 4 ? 5 4 ? 2 3 ? 5 ? 2 ? 53
5 2 5 2 2 1 2 1 2 2

将上述不等式在左右两端视为两

2 ? 5 ? 2 ?5 ? 2 ?5 ??

项和的情况下加以推广,使以上的不等式成为推广不等式的特例,则推广的不等式 为 . 15. a m?n ? b m?n ? a m b n ? a n b m ?a, b ? 0, a ? b, m, n ? 0? 提示:通过观查推理可得。 16.下理命题: 2 2 ①用相关指数 R 来刻画回归的效果时,R 的值越大,说明模型拟合的效果越好; 2 ②对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K 的观测值 k 来说,k 越小, “X 与 Y 有关系”可信程 度越大; ③两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接* 1; ④三维柱形图中柱的高度表示的是各分类变量的频数; 其中正确命题的序号是 .(写出所有正确命题的序号) 16.①③④ 17. (12 分) 函数 f ?x ? ? 定义域为 B. (1)求 A;

2?

x?3 的定义域为 A, g ?x ? ? lg??x ? a ? 1??2a ? x ?? ?a ? 1?的 x ?1
(2)若 B ? A, 求实数 a 的取值范围.

17. ( 12

分 ) 解 :

(1) 由 2 ?

x ? ?1 ,? A ? ?? ?,?1? ? ?1,???; (2)由 ?x ? a ? 1??2a ? x ? ? 0 得 ?x ? a ? 1??x ? 2a ? ? 0 ,解得 2a ? x ? a ? 1 ? ? 2a ? a ? 1? 1 ? B ? ?2a, a ? 1?, 又 B ? A, ? a ? 1 ? ?1 或 2a ? 1, 即 a ? ?2 或 a ? . 2 1 又? a ? 1,? a ? ?2 或 ? a ? 1 . 2 m(m ? 2) ? (m 2 ? 2m ? 3)i ,当 m 为何值时, 18.已知 m ? R ,复数 z ? m ?1 (1) z ? R ?
(2) z 是纯虚数? (3) z 对应的点位于复*面第二象限? (4) z 对应的点在直线 x ? y ? 3 ? 0 上? 19. (本题满分 12 分) 先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:
2 2 已知 a1 , a2 ? R , a1 ? a 2 ? 1 ,求证 a1 , ? a2 ?1 2

x?3 x ?1 ?0 得 ? 0 , 解 得 x ?1 或 x ?1 x ?1

证明:构造函数 f ( x) ? ( x ? a1 ) 2 ? ( x ? a2 ) 2

f ( x) ? 2x 2 ? 2(a1 ? a2 ) x ? a1 ? a2 ? 2x 2 ? 2x ? a1 ? a2 2 2 因为对一切 x?R,恒有 f ( x) ≥0,所以 ? ? 4 ? 8(a1 ? a2 ) ≤0, 2 2 从而得 a1 , ? a2 ?1 2 (1)若 a1 , a2 , ?, an ? R , a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ,请写出上述结论的推广式;
(2)参考上述解法,对你推广的结论加以证明。 19.解: (1)若 a1 , a2 , ?, an ? R , a1 ? a2 ? ? ? an ? 1,
2 2 2 求证: a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 n

2

2

2

2

(2)证明:构造函数 f ( x) ? ( x ? a1 ) 2 ? ( x ? a2 ) 2 ? ? ? ( x ? an ) 2
2 2 ? nx2 ? 2(a1 ? a2 ? ? ? an ) x ? a12 ? a2 ? ? ? an
2 2 ? nx2 ? 2x ? a12 ? a2 ? ? ? an 2 2 2 因为对一切 x?R,都有 f ( x) ≥0,所以△= 4 ? 4n(a1 ? a2 ? ? ? an ) ≤0,

2 2 2 从而证得: a1 . ? a2 ? ? ? an ?1 n

20.(12 分)对于函数 f ( x) ? a ?

2 (a ? R) : 2 ?1
x

(1)探索函数 f ( x) 的单调性; (2)是否存在 a 使函数 f ( x) 为奇函数? 20.(12 分)解:(1)(定义法) f ?x ? 在 R 上单调递增. f ? x ? ? a ? 证明:在 ?? ?,??? 上任取 x1 , x2 , 且 x1 ? x2 , 则 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ?

2 2 ?1
X

2 2 2 2 x1 ? 2 x2 2 ? 2 x2 2 x1 ? x2 ? 1 ? ? ? 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1

?

?

??

?

? ?

?

??

? ?

? x1 ? x2 , ? 2

x1 ? x2

? 1,2

x1 ? x2

? 1 ? 0,2 ? 1 ? 0,2 ? 1 ? 0,2 ? 0.
x1 x2 x2

?
增.

2 ? 2 x2 2 x1 ? x2 ? 1 ? 0 , 即 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0, ? f ?x1 ? ? f ?x2 ?. ? f ?x ? 在 R 上 单 调 递 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1

?

?

??

? ?

(求导法) f ?? x ? ?

2 ? 2 x ln 2

(2)(法 1)要想存在这样的 a 使函数 f ( x) 为奇函数,只须 f ?? x ? ? ? f ?x ?, 即a ?

?2

x

?1

?

2

? 0 在 R 恒成立,所以 f ?x ? 在 R 上单调递增.

2 2 ? ?a ? x , 解得 a ? 1. 2 ?1 2 ?1
?x x

2 2 ?1 x 2 2?2 1? 2x 2 ? 2x ?1 ? 1? x ? x ? ? 证明: f ?x ? 的定义域为 R,且 f ?? x ? ? 1 ? ? x 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2x ?1 2 ?1? x ? ? f ?x ? .? a ? 1 时, f ?x ? 为奇函数. 2 ?1
(法 2) f ?x ? 是奇函数,则 f ?0? ? 0 ,解得 a ? 1. 此时 f ? x ? ? 1 ?

?

?

21.(本题满分 12 分) 某工厂有一段旧墙长 14m,现准备利用这段旧墙为一面建造*面图形为矩形,面积为 2 126m 的厂房,工程条件是: (1)建 lm 新墙的费用为 a 元;(2)修 1m 旧墙的费用为 得的建材建 1m 的新墙的费用为

a 元;(3)拆去 1m 的旧墙,用可 4

a 元,经讨论有两种方案: 2

①利用旧墙一段 xm(0<x<14)为矩形一边; ②矩形厂房利用旧墙的一面边长 x≥14,问如何利用旧墙建墙费用最省? 试比较①、②两种方案哪个更好. 21.(1)方案①:修旧墙费用 x ?

a a ,拆旧墙造新墙费用为 (14 ? x) ? , 2 4 2 ?126 ? 14)a 其余新墙费用: (2 x ? x x 36 ?总费用y ? 7a( ? ? 1) (0 ? x ? 14) ???????????????????????????4分 4 x

x 36 x 36 x 36 ? ? 2 . ? 6,?当且仅 ? ? x ? 12时, ysin ? 35a 4 x 4 x 4 x
???????????????????????????? 6分
(2)方案②,利用旧墙费用为 14 ?

a 7a ? (元) 4 2

252 ? 14)a(元) x 126 21 总费用为 : y ? 2a( x ? ) ? a( x ? 14) x 2 126 126 当x ? 14时, ( x ? ) ' ? 1? 2 ? 0 x x 建新墙费用为(2 x ?

?函数x ?

126 在[14, ??)上为增函数,?当x ? 14, ysin ? 35.5a x

采用方案①更好些.

22、 (本小题满分 14 分) 定 义 在 ( - 1 , 1 ) 上 的 函 数 f ( x) 满 足 : 对 任 意 m , n ? (?1,1) 都 有

m?n f ( m) ? f ( n ) ? f ( ) 1 ? mn ,且当 x ? (?1,0) 时,有 f ( x) ? 0 。 (1)求 f (0) 的值; (2)试判断 f ( x) 的奇偶性; (3)判断并证明 f ( x) 的单调性。
22、解: (1)对条件中的 m,n,令 m ? n ? 0 , f (0) ? f (0) ? f (0) ? f (0) ? 0 …4 分 (2)令 n ? x, m ? ? x ,可得 f (? x) ? f ( x) ? f (0) ? 0 ,则 f (? x) ? ? f ( x) 所以 f ( x) 是奇函数。 ……4 分

x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? f ( 1 ) 1 ? x1 x2 (3)设 ? 1 ? x1 ? x2 ? 1 ,则 x1 ? x2 x1 ? x2 ? 0, ?1 1 ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? 0,0 ? 1 ? x1 x2 , 1 ? x1 x2 , x ? x2 f( 1 )?0 由条件(2)知 1 ? x1 x2 ,从而 f ( x1 ) ? ( x2 ) ? 0 , 即 f ( x1 ) ? ( x2 ) ,故 f ( x) 在(-1,1)上单调递减……6 分




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