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2017届九年级数学中考总复*:全等三角形判定一(SAS、ASA、AAS)(提高)知识讲解

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全等三角形判定一(SAS,ASA,AAS) (提高)
【学*目标】 1.理解和掌握全等三角形判定方法 1——“边角边” ,判定方法 2——“角边角” ,判定方法 3——“角角边” ;能运用它们判定两个三角形全等. 2.能把证明角相等或线段相等的问题,转化为证明它们所在的两个三角形全等. 【要点梳理】 要点一、全等三角形判定 1——“边角边” 1. 全等三角形判定 1——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS” ).

要点诠释: 如图, 如果 AB = A ' B ' , ∠A=∠ A ' , AC = A ' C ' , 则△ABC≌△ A ' B ' C ' . 注意:这里的角,指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等. 如图,△ABC 与△ABD 中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC 与△ABD 不完全重合, 故不全等,也就是有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.

要点二、全等三角形判定 2——“角边角” 全等三角形判定 2——“角边角” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA” ). 要点诠释:如图,如果∠A=∠ A ' ,AB= A ' B ' ,∠B=∠ B ' ,则△ABC≌△ A ' B ' C ' .

要点三、全等三角形判定 3——“角角边” 1.全等三角形判定 3——“角角边”

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 (可以简写成 “角角边” 或 “AAS” ) 要点诠释:由三角形的内角和等于 180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就 可由“角边角”判定两个三角形全等,也就是说,用角边角条件可以证明角角边条件,后者 是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图,在△ABC 和△ADE 中,如果 DE∥BC,那么∠ADE=∠B,∠AED=∠C,又∠A=∠A, 但△ABC 和△ADE 不全等.这说明,三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

要点四、如何选择三角形证全等 1.可以从求证出发,看求证的线段或角(用等量代换后的线段、角)在哪两个可能全等 的三角形中,可以证这两个三角形全等; 2.可以从已知出发,看已知条件确定证哪两个三角形全等; 3.由条件和结论一起出发,看它们一同确定哪两个三角形全等,然后证它们全等; 4.如果以上方法都行不通,就添加辅助线,构造全等三角形. 【典型例题】 类型一、全等三角形的判定 1——“边角边” 1、如图,AD 是△ABC 的中线,求证:AB+AC>2AD.

【思路点拨】延长 AD 到点 E,使 AD=DE,连接 CE.通过证全等将 AB 转化到△CEA 中,同时 也构造出了 2AD.利用三角形两边之和大于第三边解决问题. 【答案与解析】 证明:如图,延长 AD 到点 E,使 AD=DE,连接 CE. 在△ABD 和△ECD 中,AD=DE,∠ADB=∠EDC,BD=CD. ∴△ABD≌△ECD. ∴AB=CE. ∵AC+CE>AE, ∴AC+AB>AE=2AD.即 AC+AB>2AD.

【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路: (1)两点之间线段最短; (2)三角形的两 边之和大于第三边.要证明 AB+AC>2AD,如果归到一个三角形中,边的大小关系就是显然 的, 因此需要转移线段, 构造全等三角形是转化线段的重要手段. 可利用旋转变换, 把△ABD 绕点 D 逆时针旋转 180°得到△CED,也就把 AB 转化到△CEA 中,同时也构造出了 2AD.若 题目中有中线,倍长中线,利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法. 2、已知,如图:在△ABC 中,∠B=2∠C,AD⊥BC, 求证:AB=CD-BD.

【思路点拨】在 DC 上取一点 E,使 BD=DE,则△ABD≌△AED,所以 AB=AE,只要再证出 EC =AE 即可. 【答案与解析】 证明:在 DC 上取一点 E,使 BD=DE A ∵ AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADE 在△ABD 和△AED 中, BD=DE,AD=AD. ∴△ABD≌△AED(SAS) . B C ∴AB=AE,∠B=∠AED. E D 又∵∠B=2∠C=∠AED=∠C+∠EAC. ∴∠C=∠EAC.∴AE=EC. ∴AB=AE=EC=CD—DE=CD—BD. 【总结升华】此题采用截长或补短方法.上升到解题思想,就是利用翻折变换,构造的全等 三角形,把条件集中在基本图形里面,从而使问题加以解决.如图,要证明 AB=CD-BD, 把 CD-BD 转化为一条线段, 可利用翻折变换, 把△ABD 沿 AD 翻折, 使线段 BD 运动到 DC 上, 从而构造出 CD-BD,并且也把∠B 转化为∠AEB,从而拉*了与∠C 的关系. 举一反三: 【变式】已知,如图,在四边形 ABCD 中,AC *分∠BAD,CE⊥AB 于 E,并且 AE= AD) ,求证:∠B+∠D=180°.

1 (AB+ 2

【答案】 证明:在线段 AE 上,截取 EF=EB,连接 FC, ∵CE⊥AB,

∴∠CEB=∠CEF=90° 在△CBE 和△CFE 中,

? EB ? EF ? ??CEB ? ?CEF ? EC =EC ?
∴△CBE 和△CFE(SAS) ∴∠B=∠CFE ∵AE=

1 (AB+AD) ,∴2AE= AB+AD 2

∴AD=2AE-AB ∵AE=AF+EF, ∴AD=2(AF+EF)-AB=2AF+2EF-AB=AF+AF+EF+EB-AB=AF+AB-AB, 即 AD=AF 在△AFC 和△ADC 中

? AF ? AD ? ??FAC ? ?DAC (角*分线定义) ? AC ? AC ?
∴△AFC≌△ADC(SAS) ∴∠AFC=∠D ∵∠AFC+∠CFE=180°,∠B=∠CFE. ∴∠AFC+∠B=180°,∠B+∠D=180°.

类型二、全等三角形的判定 2——“角边角”
2、如图,G 是线段 AB 上一点,AC 和 DG 相交于点 E.请先作出∠ABC 的*分线 BF,交 AC 于点 F;然后证明:当 AD∥BC,AD=BC,∠ABC=2∠ADG 时,DE=BF.

【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC=∠C,∠CBF=∠ADG,则可证△DAE≌△BCF 【答案与解析】 证明: ∵AD∥BC, ∴∠DAC=∠C ∵BF *分∠ABC ∴∠ABC=2∠CBF ∵∠ABC=2∠ADG ∴∠CBF=∠ADG 在△DAE 与△BCF 中

??ADG ? ?CBF ? ? AD ? BC ??DAC ? ?C ?
∴△DAE≌△BCF(ASA) ∴DE=BF 【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下:(1)找到以待证角 (线段)为内角(边)的两个三角形; (2)证明这两个三角形全等; (3)由全等三角形的性质得出 所要证的角(线段)相等. 举一反三: 【高清课堂:379110 全等三角形判定二,例 7】 【变式】已知:如图,在△MPN 中,H 是高 MQ 和 NR 的交点,且 MQ=NQ. 求证:HN=PM.

【答案】 证明:∵MQ 和 NR 是△MPN 的高, ∴∠MQN=∠MRN=90°, 又∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°,∠3=∠4 ∴∠1=∠2 在△MPQ 和△NHQ 中,

??1 ? ?2 ? ? MQ ? NQ ??MQP ? ?NQH ?
∴△MPQ≌△NHQ(ASA) ∴PM=HN

类型三、全等三角形的判定 3——“角角边”
3、已知:如图,∠ACB=90°,AC=BC,CD 是经过点 C 的一条直线,过点 A、B 分别 作 AE⊥CD、BF⊥CD,垂足为 E、F, 求证:CE=BF.

【答案与解析】 证明:∵ AE⊥CD、BF⊥CD, ∴∠AEC=∠BFC=90° ∴∠BCF+∠B=90° ∵∠ACB=90°, ∴∠BCF+∠ACF=90° ∴∠ACF=∠B 在△BCF 和△CAE 中

??AEC ? ?BFC ? ??ACE ? ?B ? AC ? BC ?
∴△BCF≌△CAE(AAS) ∴CE=BF 【总结升华】要证 CE=BF,只需证含有这两个线段的△BCF≌△CAE.同角的余角相等是找角 等的好方法. 4、 *面内有一等腰直角三角板 (∠ACB=90°) 和一直线 MN. 过点 C 作 CE⊥MN 于点 E, 过点 B 作 BF⊥MN 于点 F.当点 E 与点 A 重合时(如图 1) ,易证:AF+BF=2CE.当三角板绕 点 A 顺时针旋转至图 2 的位置时, 上述结论是否仍然成立?若成立, 请给予证明; 若不成立, 线段 AF、BF、CE 之间又有怎样的数量关系,请直接写出你的猜想,不需证明.

【思路点拨】过 B 作 BH⊥CE 与点 H,易证△ACE≌△CBH,根据全等三角形的对应边相等, 即可证得 AF+BF=2CE. 【答案与解析】 解:图 2,AF+BF=2CE 仍成立, 证明:过 B 作 BH⊥CE 于点 H, ∵∠CBH+∠BCH=∠ACE+∠BCH=90° ∴∠CBH=∠ACE

在△ACE 与△CBH 中,

??ACH ? ?CBH ? ??AEC ? ?CHB ? 90? ? AC ? BC ?
∴△ACE≌△CBH. (AAS) ∴CH=AE,BF=HE,CE=EF, ∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC.

【总结升华】正确作出垂线,构造全等三角形是解决本题的关键. 举一反三: 【变式】已知 Rt△ABC 中,AC=BC,∠C=90°,D 为 AB 边的中点,∠EDF=90°,∠EDF 绕 D 点旋转,它的两边分别交 AC、CB 于 E、F.当∠EDF 绕 D 点旋转到 DE⊥AC 于 E 时(如图 1) ,易证 S△DEF ? S△CEF ?

1 S△ABC ;当∠EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时,在图 2 情 2

况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请写出你的猜想,不需证明.

【答案】 解:图 2 成立; 证明图 2: 过点 D 作 DM ? AC,DN ? BC 则 ?DME ? ?DNF ? ?MDN ? 90° 在△AMD 和△DNB 中,

A

??AMD=?DNB=90? ? ? ?A ? ? B ? AD ? BD ?
∴△AMD≌△DNB(AAS)

M E C N

D

F

B

图2

∴DM=DN ∵∠MDE+∠EDN=∠NDF+∠EDN=90°, ∴∠ MDE=∠NDF 在△DME 与△DNF 中,

??EMD ? ?FDN ? 90? ? ? DM ? DN ??MDE ? ?NDF ?
∴△DME≌△DNF(ASA) ∴ S△DME ? S△DNF ∴ S四边形DMCN =S四边形DECF =S△DEF ? S△CEF . 可知 S四边形DMCN = ∴ S△DEF

1 S△ABC , 2 1 ? S△CEF ? S△ABC 2

类型四、全等三角形判定的实际应用 5、如图为紫舞公园中的揽月湖,现在测量揽月湖两旁 A、B 两棵大树间的距离(不得 直接量得) .请你根据三角形全等的知识,用几根足够长的绳子及标杆为工具,设计一种测 量方案. 要求: (1)画出设计的测量示意图; (2)写出测量方案的理由.

【思路点拨】 (1)本题属于主观性试题,有多种方案,我们可以构造 8 字形的全等三角形来 测得揽月湖的长度(如下图) ; (2)根据三角形全等的证明得出对应边相等即可得出答案. 【答案与解析】 解: (1)如图所示; 分别以点 A、点 B 为端点,作 AQ、BP, 使其相交于点 C, 使得 CP=CB,CQ=CA,连接 PQ, 测得 PQ 即可得出 AB 的长度. (2)理由:由上面可知:PC=BC,QC=AC, 又∠PCQ=∠BCA, ∴在△PCQ 与△BCA 中, , ∴△PCQ≌△BCA(SAS) ,

∴AB=PQ.

【总结升华】此题考查了全等三角形的应用与证明;此题带有一定主观性,学生要根据已知 知识对新问题进行探索和对基础知识进行巩固,这种做法较常见,要熟练掌握.




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